楕円関数について

楕円関数とは、複素平面上で二重周期を持つ有理型の関数のことをいいます。
楕円の弧長を求める際に出てくる、３次式、４次式の平方根の積分（楕円積分）が起源であり初等的に求まらないが、とても重要な関数であるので、この逆関数をヤコービの楕円関数（第１種楕円積分）と読んでいます。
　　　　どうして、３次と４次の２つあるのかというと、３次でも４次でもx=1/tとおけば
　　　　　　　　dx/{x(x-a)(x-b)(x-c)}^(1/2)=-dt/{(1-at)(1-bt)(1-ct)}^(1/2)
となりますから、本質的には同じものなのです。

また、５次以上の平方根の積分は、超楕円積分と呼び、その逆関数は超楕円関数と呼ばれます

ちなみに、円の弧長を求める時に登場する２次式の平方根の積分は初等的に求まります。
この逆関数が、おなじみの三角関数ですね。

３次式、４次式の平方根の積分（楕円積分）も、初等的には求まらないけれども、その逆関数を三角関数みたいに決めてみよう！というのは、自然な流れではないでしょうか。。。

そうやって決められたのが、ｓｎ（エスエヌ）　ｃｎ（シーエヌ）　ｄｎ（ディーエヌ）　関数で

sn(-u) = -sn(u)
sn(2K - u) = sn(u)
cn(-u) = cn(u)

sn^2 + cn^2 = 1
k^2 sn^2 + dn^2 = 1
dn^2 - k^2 cn^2 = k'^2

などという、三角関数にとってもよく似た性質があります。加法定理もちゃんとあり
第１種楕円積分は
　　K(k)=π/2{1+(1/2k)^2+(3/8k^2)^2+(5/16k^3)^2+･･･}
とベキ級数展開も可能で、複素数へ拡張も出来ちゃいます。

驚くほどに、三角関数とそっくりですね。

さらに、ここからが面白いのですが、三角関数ベキ級数展開といえば、虚数を使うことにより

e^iθ＝Cosθ＋iＳinθ＝Ｃisθと書けるのでした。

Ｃisθは最近アメリカの文献ではよくお目にかかるもので、e^iθと書くと指数的イメージが強いですが、周期や振幅などを議論する際など、三角関数としてのイメージを強めたい場合に
よく使われます（Cosθ＋iＳinθと書くのがメンドクサイのかな・・・）

同じように、楕円関数でもベキ級数展開ができるのならば、指数関数と繋がるんじゃないかなと考えてみるのは、やはり自然な事でしょう。
そうして、生まれたのがテータ関数で、準二重周期を持っています。

三角関数に対応する楕円関数sn,cn,dnがヤコービの楕円関数で
指数関数に対応するのがヤコービのテータ関数というわけです。

テータ関数　　θ3(z)=１＋２Σq^(n^2)cos(2nπ) 　などを使うことにより
楕円関数を表すことが可能です。